Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Геохимические науки >> Кристаллография | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение

Теория симметрии кристаллов

Авторы: Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
( Под редакцией В.С.Урусова)

Содержание

I.3. Взаимодействия элементов симметрии

 

I.3.1. Теорема Эйлера

ris005.gif (2617 bytes)

Рис. 5

Результат сочетания двух вращений вокруг пересекающихся поворотных осей легко увидеть, рассмотрев движение точки на поверхности сферы (рис. 5). Пусть А и В - точки выхода двух пересекающихся в центре О сферы поворотных осей с элементарными углами поворота alfa.GIF (67 bytes) и beta.GIF (63 bytes) соответственно. Направления вращений указаны стрелками. Для доказательства на поверхности сферы проведем дуги больших кругов (экваторы) а - а и в - в, полюсами которых служат выходы исходных осей А и В соответственно. Рассмотрим последовательные вращения вокруг указанных осей некоторой точки 1, выбрав ее на поверхности сферы так, чтобы после поворота вокруг оси А на угол a (движение по экватору а - а) она оказалась на экваторе в - в в положении 2. После поворота точки 2 на угол b вокруг оси В (движение по экватору в - в) она попадет в положение 3. Дуга большого круга, проведенная через точки 1 и 3, является экватором с - с по отношению к полюсу в точке С. При этом движение точки 1 по экватору с - с в точку 3 можно считать поворотом на угол g вокруг оси, выходящей в полюсе С. Таким образом, два поворота против часовой стрелки вокруг пересекающихся осей А и В можно заменить поворотом в том же направлении вокруг третьей оси С: Аalfa.GIF (67 bytes) . Вbeta.GIF (63 bytes) = Сgamma.GIF (70 bytes). В этом суть известной "осевой" теоремы Эйлера, лежащей в основе теории симметрии кристаллов. Нетрудно понять, что комбинация вращений вокруг трех пересекающихся осей соответствует операции идентичности, оставляющей точку на месте: Аalfa.GIF (67 bytes) . Вbeta.GIF (63 bytes) . С-gamma.GIF (70 bytes)= 1.

ris006sm.gif (2298 bytes)

Рис. 6

Для получения конкретных значений угловых величин следует прибегнуть к построению Эйлера (см. [58]), использующему половинные элементарные углы поворотов осей, что особенно удобно при рассмотрении взаимодействия осей 2-го порядка (alfa.GIF (67 bytes)= 180o).

При доказательстве теоремы все построения, как и в рассмотренном выше случае, проводятся на поверхности сферы (рис.6). Точки А и В - выходы пересекающихся в центре сферы О двух поворотных осей: ОА (с элементарным углом поворота alfa.GIF (67 bytes)) и ОВ (с углом beta.GIF (63 bytes)). Угол между этими осями соответствует отрезку АВ дуги большого круга, проходящей через их выходы.

Проведем на сфере дуги АМ и АМ', BN и BN', образующие с дугой АВ углы alfa.GIF (67 bytes)/2 и beta.GIF (63 bytes)/2 соответственно: ugol.GIF (116 bytes)МАВ = ugol.GIF (116 bytes)М'АВ =alfa.GIF (67 bytes)/2, ugol.GIF (116 bytes)NBA = ugol.GIF (116 bytes)N'BA = beta.GIF (63 bytes)/2.

ris007sm.gif (2334 bytes)

Рис. 7

Обозначим точки пересечения дуг АМ с ВN и АМ' с ВN' буквами С и С' соответственно. Рассмотрим движение точки С на сфере. В результате поворота вокруг оси Аalfa.GIF (67 bytes) на угол a против часовой стрелки точка С перейдет в положение С'. Последующий поворот точки С' вокруг оси Вbeta.GIF (63 bytes) на угол beta.GIF (63 bytes) в том же направлении вернет ее в исходное положение С. Таким образом, комбинация вращений вокруг осей Аalfa.GIF (67 bytes) и Вbeta.GIF (63 bytes) оставит точку С на месте. Это значит, что третье - результирующее - вращение может происходить исключительно вокруг оси, выход которой совпадает с точкой С, ибо только в этом случае будет выполняться условие Аalfa.GIF (67 bytes) . Вbeta.GIF (63 bytes) . С-gamma.GIF (70 bytes)= 1, и точка С при повороте вокруг третьей оси останется на месте. Величину угла gamma.GIF (70 bytes)легко измерить, рассмотрев полное перемещение точки А: поворот вокруг оси Аalfa.GIF (67 bytes) оставит точку на месте, поворот вокруг оси Вbeta.GIF (63 bytes) переведет точку А в положение А'. В результате образуются два равных треугольника: treug.gif (58 bytes)АВС = treug.gif (58 bytes)А'ВС, ибо ugol.GIF (116 bytes)АВС = ugol.GIF (116 bytes)А'ВС = duga.gif (56 bytes)/2 и duga.gif (56 bytes)АВ = duga.gif (56 bytes)А'В по построению. Следовательно, ugol.GIF (116 bytes)АСВ = ugol.GIF (116 bytes)А'СВ. Обозначив каждый из них gamma.GIF (70 bytes)/2, получим элементарный угол поворота gamma.GIF (70 bytes) для оси Сgamma.GIF (70 bytes), выходящей в точке С.

В результате проведенных построений получен сферический треугольник АВС, углы А, В и С при вершинах которого равны половинам элементарных углов поворота осей, выходящих в его вершинах, т.е. А = = alfa.GIF (67 bytes)/2, В = beta.GIF (63 bytes)/2 и С = gamma.GIF (70 bytes)/2. Стороны такого сферического треугольника а = = duga.gif (56 bytes)ВС, в = duga.gif (56 bytes)АС, с = duga.gif (56 bytes)АВ соответствуют углам между этими осями.

Расчеты порядков осей и углов между ними можно производить по формулам сферической тригонометрии [24] - раздела математики, рассматривающего только фигуры, образованные дугами больших кругов, - сферические треугольники, каждый из которых может быть охарактеризован шестью элементами: тремя сторонами - дугами (а, в, с) - и углами между ними (А, В, С). Основные формулы сферической тригонометрии связывают четыре или пять элементов сферического треугольника, т.е. дают возможность по трем или четырем данным его элементам определить остальные.

<<назад

вперед>>


 См. также
НовостиЗавершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии"
Аннотации книгКаталог научной литературы издательства "ГЕОС" на 2007-2010 годы
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава:
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли.
Научные статьиПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.
Научные статьиМеханизм формирования структуры системы Земли. О роли стационарных энергетических центров в сохранении динамического равновесия системы Земли.:

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ
   
TopList Rambler's Top100