Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Геохимические науки >> Кристаллография | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение

Теория симметрии кристаллов

Авторы: Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
( Под редакцией В.С.Урусова)

Содержание

I.3.2. Основные формулы сферической тригонометрии

ris008sm.gif (2716 bytes)

Рис. 8

Теорема косинусов. Теорема косинусов, впервые доказанная Альбатегнием в Х в., устанавливает зависимость между тремя сторонами (а, в, с) и одним из углов (А, В или С) сферического треугольника.

 

Косинус стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других его сторон, сложенному с произведением синусов тех же сторон на косинус угла между ними:

cos a = cos в . cos c + sin в . sin c . cos A.

Докажем эту теорему.

Пусть АВС - сферический треугольник (рис. 7), стороны в и с которого меньше 90o . Соединив его вершины с центром сферы О, получим центральные углы а, в и с, пропорциональные величинам дуг, на которые они опираются, и численно равные сторонам сферического треугольника:duga.gif (56 bytes) СВ = а, duga.gif (56 bytes) АС = в, duga.gif (56 bytes) АВ = с.

 

Сферический угол, например между дугами СА и АВ (угол САВ), измеряется углом между касательными к этим дугам (АМ и АN) в точке их пересечения (А). Пересечения этих касательных с продолжениями радиусов ОВ и ОС дадут точки М и N. Из возникших плоских треугольников АМN и ОМN по формуле косинусов находим

ris009.gif (2705 bytes)

Рис. 9

MN2 = AM2 + AN2 - 2 AM . AN . cos A,

MN2 = OM2 + ON2 - 2 OM . ON . cos a,

откуда

АМ2 + AN2 - 2 AM . AN . cos A =

= OM2 + ON2 - 2 OM . ON . cos a,

2 OM . ON . cos a = OM2 + ON2 - AM2 - AN2 + 2AM . AN . cos A. (1)

Из плоских прямоугольных треугольников АОМ и AON следует

ОМ2 = ОА2 + АМ2 и ON2 = OA2 + AN2.

Подставив эти значения в правую часть равенства (1), получим

2 ОМ . ON . cos a = OA2 + AM2 + OA2+ AN2 - AM2 - AN2 +

+ 2 AM . AN . cos A,

OM . ON . cos a = OA2 + АМ . AN . cos A. (2)

Из полученного равенства (2) найдем выражение для cos a:

cos a = (3)

Из рис. 7 видно, что

cos c, cos в, sin c, sin в.

Подставив эти значения в формулу (3), получим

cos a = cos с . cos в + sin с . sin в . cos A,

что и требовалось доказать.

Аналогично выводятся формулы для сторон в и с сферического треугольника АВС:

cos b = cos a . cos c + sin a . sin c . cos B,

cos c = cos a . cos в + sin a . sin в . cos C.

Следует оговорить, что выведенные формулы для сферических треугольников со сторонами в и с, меньшими 90o , могут быть использованы и для треугольников со сторонами любой длины.

Из формул косинусов сторон сферического треугольника (а, в, с) выводятся все необходимые в дальнейшем формулы сферической тригонометрии. Например, формулы косинусов углов сферического треугольника (А, В или С) получаются при помощи введения полярного треугольника, т.е. треугольника А'В' С' (рис. 8), вершины которого служат полюсами сторон (дуг) исходного сферического треугольника АВС. Угол А данного сферического треугольника АВС и соответствующая ему сторона а' полярного с ним треугольника  А'В' С'в сумме составляют 180o , т.е. А + а'= 180o .

Для доказательства этого положения обратимся к рис. 8. Продолжим стороны АВ и АС сферического треугольника АВС до пересечения со стороной B'C' полярного с ним треугольника A'B'C' в точках М и N. Так как вершина А есть полюс дуги B'C' , то дуга MN служит мерой угла А: А = MN1). Дуга В' С' , соответствующая стороне а' полярного треугольника, разбита точками М и N на три части, т.е. а' = B' M + MN + NC' . Cледовательно, А + а' = В' М + MN + MN + + NC' = B' N + MC' . А так как точки В' и С' служат полюсами дуг АС и АВ соответственно, то duga.gif (56 bytes) B' N = 90o , duga.gif (56 bytes) MC' = 90o . Следовательно, А + а' = 90o + 90o = 180o , что и требовалось доказать. Таким образом,

А + а' = 180o ,

В + в' = 180o , (4)

С + с' = 180o .

Аналогично доказывается и положение о том , что сторона (а) данного сферического треугольника и соответствующий ей угол полярного с ним треугольника (А' ) в сумме составляют 180o , т.е.

а + А'= 180o ,

в + В' = 180o , (5)

с + С' = 180o .

Выведенные особенности взаимно полярных сферических треугольников позволяют распространить формулы для сторон сферического треугольника с соответствующими изменениями на его углы, и наоборот. Hапример, взяв за основу формулу косинуса стороны сферического треугольника

cos a' = cos в' . cos c' + sin в' . sin c' . cos A'

и учтя только что выведенные закономерности (4) и (5), можем записать

cos(180o - A) = cos(180o - B) . cos(180o - C) +

+ sin(180o - B) . sin(180o - C) . cos(180o - a).

После приведения тригонометрических функций получаем

- cos A = cos B . cos C - sin B . sin C . cos a ,

или

cos A = - cos B . cos C + sin B . sin C . cos a. (6)

Следовательно, косинус угла сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его углов, взятому с обратным знаком, сложенному с произведением синусов тех же углов на косинус стороны между ними.

Отсюда соответственно

cos a =,

cos в =, (7)

cos c = .

Таким образом, по трем известным углам А, В и С сферического треугольника АВС могут быть вычислены все три его стороны а, в и с.

Подставив в полученные формулы (7) значения элементарных углов поворота пересекающихся поворотных осей симметрии, получим их (углов) кристаллографическую запись:

(8)

 

где а, в, с - стороны сферического треугольника - служат мерами углов между пересекающимися осями симметрии.

Теорема синусов. Для решения наиболее реальной кристаллографической задачи, когда известны порядки двух пересекающихся под определенным углом осей симметрии и требуется определить положение и порядок третьей - результирующей - оси, необходимо знание еще одной теоремы сферической тригонометрии - теоремы синусов для сферического треугольника.

 

Синусы сторон сфери-ческого треугольника АВС пропорциональны синусам его углов:

.

ris010sm.gif (1956 bytes)

Рис. 10

Для доказательства этой теоремы соединим вершины сферического треугольника АВС (рис. 10) с центром сферы О, в результате чего возникнет трехгранный угол ОАВС. Из вершины С опустим перпендикуляр СD на противоположную грань ОАВ трехгранного угла. Из полученной точки D опустим перпендикуляры DN и DM на радиусы ОА и ОВ и соединим прямыми точку С с точками M и N.

Из элементарной геометрии следует, что CNperpen.gif (66 bytes) OA ( так как DNperpen.gif (66 bytes) OA) и СМ perpen.gif (66 bytes) ОВ (так как DMperpen.gif (66 bytes) OB). Таким образом, угол CND - это линейный угол двугранного угла СОАВ , соответствующий углу А рассматриваемого сферического треугольника. Точно так же угол CMD - сферический угол В.

Из рассмотрения прямоугольных треугольников NDC и МDC с общим катетом CD получим

CM . sin B = CN . sin A. (9)

Отрезки CM и CN можно выразить, рассмотрев прямоугольные треугольники ОМС и ONC. Углы МОС и NOC при общей вершине О этих треугольников соответствуют сторонам а и в сферического треугольника АВС. На основании этого можно записать

CM = OC . sin a, CN = OC . sin в.

Подставив эти выражения в равенство (9), получим

OC . sin a . sin B = OC . sin в . sin A.

Откуда sin a . sin B = sin A . sin в, т.е. Аналогично можно получить

Следовательно,

, (10)

что и требовалось доказать.

Пример. Пусть даны два угла сферического треугольника и сторона между ними: А, В и с . Необходимо найти третий угол С и две стороны а и в.

Угол С находим по формуле косинусов (6):

cos C = - cos A . cos B + sin A . sin B . cos c

и далее а и в - по формуле синусов (10):

Откуда

<<назад

вперед>>


 См. также
НовостиЗавершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии"
Аннотации книгКаталог научной литературы издательства "ГЕОС" на 2007-2010 годы
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава:
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли.
Научные статьиПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.
Научные статьиМеханизм формирования структуры системы Земли. О роли стационарных энергетических центров в сохранении динамического равновесия системы Земли.:

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ
   
TopList Rambler's Top100