Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Геохимические науки >> Кристаллография | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение

Теория симметрии кристаллов

Авторы: Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
( Под редакцией В.С.Урусова)

Содержание

I.3.3. Использование теоремы Эйлера для решения конкретных кристаллографических задач

ris011sm.gif (2475 bytes)

Рис. 11

При решении конкретных кристаллографических задач, помимо известных из сферической тригонометрии условий существования любого сферического треугольника:

  • > a - полупериметр сферического треугольника всегда больше любой из его сторон,
  • 0o < а + в + с < 360o - сумма сторон сферического треугольника больше нуля и меньше 360o ,
  • 180o < А + В + С < 540o - сумма углов сферического треугольника больше 180o и меньше 540o ,
  • необходимо учитывать и ограничения, касающиеся порядков осей в кристаллическом пространстве ( n = 1, 2, 3, 4, 6), а следовательно, углов сферического треугольника. Поскольку углы между сторонами сферических треугольников, равные половинам элементарных углов поворота осей симметрии, могут принимать лишь значения 90, 60, 45 и 30o , это существенно уменьшает количество вариантов возможных сочетаний кристаллографических осей симметрии.

    Так, на основе анализа суммы углов кристаллографического сферического треугольника нетрудно установить тот факт, что в кристаллах возможны лишь следующие сочетания осей симметрии:

     

    2, 2, 2 с суммой углов 90o + 90o + 90o = 270o ,

     

    3, 2, 2 с суммой углов 60o + 90o + 90o = 240o ,

     

    4, 2, 2 с суммой углов 45o + 90o + 90o = 225o ,

     

    6, 2, 2 с суммой углов 30o + 90o + 90o = 210o ,

     

    3, 3, 2 с суммой углов 60o + 60o + 90o = 210o ,

     

    4, 3, 2 с суммой углов 45o + 60o + 90o = 195o .

    Все остальные сочетания осей кристаллографических порядков невозможны, так как суммы углов соответствующих сферических треугольников либо равны, либо меньше 180o , что противоречит условию их существования.

    Первые четыре варианта сочетания осей симметрии (2, 2, 2; 3, 2, 2; 4, 2, 2; 6, 2, 2) образуют сферические треугольники по крайней мере с двумя прямыми углами (А и В) (рис. 11). А так как вершина С служит полюсом дуги АВ, то С = с. Иными словами, зная угол между двумя пересекающимися осями 2-го порядка (угол С), легко установить и порядок третьей - результирующей - оси (с элементарным углом поворота gamma.GIF (70 bytes) = 2С) и ее положение.

    Решение указанных сферических треугольников по иным их элементам не вызывает затруднений, так как третья ось кристаллографического порядка может возникнуть лишь в случае, если углы между заданными осями симметрии - 3 и 2, 4 и 2, 6 и 2 - равны 90o . Кристаллографические сферические треугольники, в которых сочетаются две оси высшего порядка - 3, 3, 2 и 4, 3, 2 - решаются с использованием формулы косинусов сторон сферического треуголь-ника (8):

    Все рассмотренные выше взаимодействия касались лишь поворотных осей симметрии n-го порядка: т.е. сочетаний операций симметрии 1-го рода (1 р. . 1 р. --> 1 р.). Естественно рассмотреть и результат взаимодействия операций 2-го рода, а также разнородных операций симметрии.

    Если исходными являются две инверсионные оси, каждая из которых помимо операций поворота содержит в общем случае и мнимую операцию инверсии, результирующей следует ожидать также простую поворотную ось, ибо дважды повторенная операция инверсии даст операцию тождественности, оставляющую фигуру на месте. Останутся лишь повороты - операции 1-го рода, сочетание которых обусловит появление также операции 1-го рода, т.е. поворотной оси:

    ' . '' n --> Ln ( 2 р. . 2 р.--> 1 р.).

    И наконец, взаимодействие разнородных операций симметрии приведет к операции 2-го рода (1 р. . 2 р. --> 2 р.), т.е.

     

    Ln . n --> ' n (= '' n ).

    Таким образом, окончательная формулировка теоремы Эйлера будет следующей.

     

    Взаимодействие двух осей n-го порядка, поворотных или инверсионных, приводит к возникновению проходящей через точку их пересечения третьей оси симметрии с элементарным углом поворота, вдвое превышающим угол между исходными осями. При этом результирующая ось окажется поворотной, если исходными являются две одинаковые оси (обе поворотные или обе инверсионные), и инверсионной (зеркальной), если порождающие оси разные.

    <<назад

    вперед>>


     См. также
    НовостиЗавершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии"
    Аннотации книгКаталог научной литературы издательства "ГЕОС" на 2007-2010 годы
    ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава:
    ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли.
    Научные статьиПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.
    Научные статьиМеханизм формирования структуры системы Земли. О роли стационарных энергетических центров в сохранении динамического равновесия системы Земли.:

    Проект осуществляется при поддержке:
    Геологического факультета МГУ,
    РФФИ
       
    TopList Rambler's Top100