Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Геохимические науки >> Кристаллография | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение

Теория симметрии кристаллов

Авторы: Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
( Под редакцией В.С.Урусова)

Содержание

I.3.4. Частные случаи теоремы Эйлера

Для решения большинства кристаллографических задач достаточно ограничиться рассмотрением частного случая теоремы Эйлера, т.е. взаимодействия осей 2-го порядка - простых (L2) и (или) инверсионных (2 = Р). В результате получим три варианта их сочетаний - три теоремы взаимодействия осей:

 

,

' 2 (Р' perpen.gif (66 bytes) ) . '' 2 (Р''perpen.gif (66 bytes) ) = Ln ,

L2 . 2 (Рperpen.gif (66 bytes) ) = n (= ' n ),

для доказательства которых инверсионную ось 2-го порядка удобно заменить на перпендикулярную к ней зеркальную плоскость симметрии (Рperpen.gif (66 bytes) ). В данном случае нет смысла обращаться к теоремам сферической тригонометрии, а следует использовать модельное доказательство, поскольку все построения осуществляются на плоскости.

 

Теорема 1. Взаимодействие двух пересекающихся под углом lambda.GIF (58 bytes) поворотных осей симметрии 2-го порядка эквивалентно повороту вокруг результирующей, также поворотной оси симметрии, проходящей через точку их пересечения перпендикулярно плоскости взаимодействующих осей; при этом элементарный угол поворота a результирующей оси вдвое превышает угол lambda.GIF (58 bytes) между исходными осями:

(alfa.GIF (67 bytes) = 2lambda.GIF (58 bytes) ).

.ля определения положения и порядка порожденной оси воспользуемся модельным доказательством (рис. 12, а). Так как обе исходные оси - элементы симметрии 1-го рода, то асимметричная фигура 1 дважды преобразуется в конгруэнтную ей. Поэтому результирующей операцией может быть лишь операция симметрии 1-го рода - простой поворот:

.

Действительно, конгруэнтные фигуры 1 и 3 могут быть совмещены друг с другом поворотом вокруг вертикальной оси Ln на угол alfa.GIF (67 bytes) = 2lambda.GIF (58 bytes) . Возникшая ось перпендикулярна к плоскости исходных осей 2-го порядка. При этом поворот будет направлен в сторону от оси 1-го поворота ко 2-й оси, т.е. в данном случае против часовой стрелки.

 

Теорема 2. Взаимодействие двух пересекающихся под углом lambda.GIF (58 bytes) зеркальных плоскостей симметрии эквивалентно простому повороту вокруг результирующей оси симметрии, совпадающей с линией их пересечения; при этом элементарный угол поворота a этой оси вдвое превышает угол lambda.GIF (58 bytes) между исходными осями:

(2 . ' 2) = Ln (alfa.GIF (67 bytes) = 2lambda.GIF (58 bytes) ).

.ак как порождающие плоскости - элементы симметрии 2-го рода, то исходная фигура 1 при отражении в первой из них (Р) преобразуется в энантиоморфную фигуру 2, а затем, при последующем отражении в плоскости Р' , снова окажется в положении 3, конгруэнтном начальному (рис. 12, б). Отсюда результирующей операцией может быть лишь операция 1-го рода - поворот:

.

Из рис. 12, б видно, что "правая" фигура 1 и конечная 3, тоже "правая", совмещаются друг с другом простым поворотом на угол alfa.GIF (67 bytes) = 2lambda.GIF (58 bytes) вокруг оси Ln, являющейся линией пересечения зеркальных плоскостей симметрии, в направлении от плоскости 1-го отражения ко 2-й плоскости. Поскольку нормали к зеркальным плоскостям симметрии Р и Р' совпадают с инверсионными осями 2 и ' 2, их взаимодействие даст тот же результат.

 

Теорема 3. Взаимодействие поворотной оси 2-го порядка и зеркальной плоскости симметрии, пересекающихся под углом lambda.GIF (58 bytes) , эквивалентно действию зеркальной оси симметрии с элементарным углом поворота alfa.GIF (67 bytes) = 2lambda.GIF (58 bytes) или соответствующей ей инверсионной оси с элементарным углом поворота 180o - alfa.GIF (67 bytes) :

= n (=n' ) (alfa.GIF (67 bytes) = 2lambda.GIF (58 bytes) ).

ris012sm.gif (1840 bytes)

Рис. 12

если взаимодействуют операции симметрии 1-го и 2-го рода, то результирующей оказывается операция 2-го рода (рис. 12, в). "Правая" фигура 1 осью L2 переводится в конгруэнтное положение 2, которое после отражения в плоскости Р займет положение 3, энантиоморфное исходному. "Правая" (1) и "левая" (3) фигуры могут быть совмещены друг с другом уже двумя симметрическими операциями - поворотом на угол alfa.GIF (67 bytes) = 2lambda.GIF (58 bytes) и отражением в зеркальной плоскости, перпендикулярной оси поворота, - составляющими операциями зеркальной оси симметрии (n ) либо поворотом на угол 180o - alfa.GIF (67 bytes) в противоположную сторону и "отражением" в точке (инверсией), совпадающей с точкой пересечения исходных плоскости и оси. А это уже составляющие операции инверсионной оси симметрии n ( где ):

.

.се три симметрические операции в рассмотренных теоремах взаимосвязаны, т.е. для каждой из теорем справедливы перестановки: за порождающую можно принять любую пару симметрических операций. Например, L2 . P = n , n . P = L2, n . L2 = P и т.д. Однако обратные теоремы невозможны, т.е. каждый порождающий элемент симметрии может существовать самостоятельно, без породивших его элементов симметрии.

В заключение необходимо отметить, что все взаимодействия симметрических операций (а следовательно, и сочетания элементов симметрии) есть следствия и частные случаи приведенных выше теорем, а точнее, одной фундаментальной осевой теоремы Эйлера.

<<назад

вперед>>


 См. также
НовостиЗавершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии"
Аннотации книгКаталог научной литературы издательства "ГЕОС" на 2007-2010 годы
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава:
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли.
Научные статьиПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.
Научные статьиМеханизм формирования структуры системы Земли. О роли стационарных энергетических центров в сохранении динамического равновесия системы Земли.:

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ
   
TopList Rambler's Top100