Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Геохимические науки >> Кристаллография | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение

Теория симметрии кристаллов

Авторы: Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
( Под редакцией В.С.Урусова)

Содержание

VII.2.13. Графическое представление пространственных групп гексагональной сингонии

Пространственная группа P63mc

RIS122SM.GIF (5578 bytes)

Рис. 122

Посчитав порождающими в пространственной группе P63mc координатные и апофемальные плоскости симметрии, наносим на график предварительно оконтуренной гексагональной Р-ячейки плоскости mx и сапоф , пересекающиеся под углом 30o . Результирующая ось 63, фиксируемая линией пересечения исходных плоскостей, наследует трансляционный вектор плоскости с . Далее, рассмотрев взаимодействие возникшей оси 63 и осей ее составляющих (т.е. входящих в нее в качестве подгрупп - осей 3 и 21) с координатными трансляциями ячейки - , , , получим весь осевой комплекс данной группы: оси 63 окажутся в центрах правильных шестиугольников, построенных на этих векторах, оси 3 - в центрах треугольников и оси 21 - на серединах векторов (см. с. 54 и рис. 122, а). После этого, размножив заданные вертикальные плоскости симметрии m и с поворотными осями 3-го порядка, найдем как результат их взаимодействия с координатными трансляциями чередующиеся с ними плоскости - b и n соответственно. В результате получим график искомой пр. гр. Р63mc ( рис. 122, б).

Из двух конкурирующих позиций с точечной симметрией 3m (00z и ) в качестве начала координат гексагональной пространственной группы естественно предпочесть первую - на оси 6-го порядка. В данной группе (P63mc), как и во всех гемиморфных, отсутствуют позиции без степеней свободы вдоль оси Z, что определяет начало координат в точке, не фиксированной элементами симметрии вдоль указанного направления.

Пространственная группа

RIS123SM.GIF (1211 bytes)

Рис. 123

Построение графика голоэдрической пространственной группы удобно начать с вычерчивания ее гемиморфной подгруппы Р63mc (см. выше). И затем, введя горизонтальную плоскость mz , рассмотреть результат взаимодействия с ней всех симметрических операций исходной группы. Взаимодействие вертикальных плоскостей симметрии с заданной горизонтальной плоскостью mz даст координатные и апофемальные оси 2 и 21, которые, в свою очередь, прореагировав с координатными трансляциями , и (расположенными к ним под разными углами: 30, 60 и 90o ), дадут весь спектр поворотных и винтовых осей 2-го порядка данной пространственной группы.

Взаимодействие вертикальных осей 21, как "самостоятельных", так и входящих в качестве подгруппы в оси 63, с перпендикулярной к ним плоскостью mz приведет к возникновению центров инверсии на середине трансляционных компонент этих осей (21), т. е. центров инверсии, поднятых на 1/4 вертикальной трансляции решетки (рис. 122, в) над уровнем заданной горизонтальной плоскости (mz).

В качестве начала координат из трех конкурирующих между собой позиций без степеней свободы и с одинаковой величиной симметрии (равной 12) с координатами 000 (симметрия позиции ), (симметрия позиции ) и (симметрия позиции ) 1 предпочтение отдается второй - реальному центру инверсии. После чего высоты всех полученных элементов симметрии приводятся к выбранному началу координат (рис. 122,, г).

Пространственная группа Р3121

Задание в начало элементарной ячейки вертикальной винтовой оси 31 и перпендикулярной к ней координатной оси 2u на нулевом уровне обусловит появление всего осевого комплекса искомой группы Р3121. Действительно, ось 2u будет повернута осью 31 на 120o и поднята на 1/3 трансляции (рис. 123, а). Взаимодействие полученных осей с координатными трансляциями обусловит появление осей 31 в центрах построенных на них треугольников и чередование осей 2(21) вдоль каждой из этих трансляций на высоте исходной координатной оси 2. В вертикальном направлении наблюдается также чередование осей 2-го порядка, но одного типа, через полтрансляции (на высотах 0 и 1/2, 1/6 и 2/3, 1/3 и 5/6). Однако на графике, как всегда, приводятся лишь минимальные значения высот: 0, 1/6 и 1/3 соответственно (рис. 123, б). Начало координат выбирается в единственной частной позиции с одной степенью свободы - на поворотной оси 2-го порядка условно в точке пересечения ее с винтовой осью 31.

Пространственная группа Р6222

RIS124SM.GIF (2558 bytes)

Рис. 124

Расположив в вершинах гексагональной Р-ячейки оси 62, найдем результат взаимодействия входящих в нее в качестве подгрупп осей 32 (=) и 2 (=) с координатными трансляциями , и : оси 32 окажутся в позициях и , оси 2-го порядка - на серединах координатных трансляций (рис. 124, а). Далее введенная на нулевой уровень координатная ось 2-го порядка (например, 2x) повторится винтовой осью 62 через 60o . При этом ось 2u окажется на высоте , а ось 2y - на высоте (рис. 124, б). Взаимодействие этих осей с исходной осью 62 даст тройку апофемальных осей также 2-го порядка, расположенных под углом 30o к координатным в направлении вращения оси 62 и отстоящих от координатных на (рис. 124, в). При этом каждая из полученных осей за счет взаимодействия с координатными трансляциями решетки будет чередоваться в направлении этих трансляций с осями, себе подобными (если эти трансляции им перпендикулярны), и с осями иного типа (если они расположены по отношению к трансляциям косо).

Обратим внимание на то, что все вертикальные оси 2z будут проходить через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных осей 2, оси 32 пересекут все три апофемальные оси 2, скрещивающиеся на трех уровнях вдоль оси Z.

Начало координат в данной группе выбирают на оси 62 в точке с симметрией 222, где вертикальная ось 2 входит в качестве подгруппы главной оси 62 (рис. 124, г).

Пространственные группы Р3m1, и

RIS125SM.GIF (3762 bytes)

Рис.125

График пространственной группы удобно вычерчивать по следующей схеме: начать с построения графика ее примитивной гемиморфной подгруппы Р3m1, далее перейти к пр. гр. и затем, введя дополнительные векторы R-решетки, завершить построение. Поместив в вершину предварительно вычерченной гексагональной ячейки ось 3-го порядка, получим аналогичные оси и в ее вершинах, и в центрах треугольников, построенных на координатных трансляциях (см. с. 54). Задание лишь одной координатной зеркальной плоскости m ввиду взаимодействия ее с координатными трансляционными векторами приведет к появлению всего комплекса координатных плоскостей, при этом будет наблюдаться чередование m(b) (см. с. 220).В результате получим график пр. гр. Р3m1 (рис. 125, а).

Введение центра инверсии в начало координат, выбранное на оси 3-го порядка, приведет, с одной стороны, к появлению комплекса горизонтальных координатных осей 2-го порядка, чередование которых - 2(21) - обусловлено взаимодействием с координатными трансляциями, и, с другой стороны, - к дополнительным центрам инверсии на серединах этих трансляций (рис. 125, б). В результате будут вычерчен график пр. гр. с началом координат в не вызывающей сомнения позиции .

Для построения графика пр. гр. следует ввести в график пр. гр. два дополнительных вектора, центрируюших объем ячейки: и . Взаимодействия указанных векторов со всеми исходными симметрическими операциями пр. гр. приведут к появлению новых, результирующих операций, а следовательно, и элементов симметрии, их задающих. Рассмотрим каждое из взаимодействий.

RIS126SM.GIF (1924 bytes)

Рис. 126

а) 3 ' и 3 ' . Взаимодействие исходной оси 3-го порядка с трансляционными векторами и , рассмотренное ранее при вычерчивании графиков пространственных групп кубической сингонии (см. с. 175 и рис. 99), обусловит появление винтовых: 31 в позиции и 32 в позиции ис. 125, в).

б) и . Результат указанных взаимодействий приведет к появлению дополнительных центров инверсии на серединах центрирующих объем ячейки векторов (рис. 125, в).

в) Локализация всех центров инверсии на координатных зеркальных плоскостях симметрии позволит легко получить результат их взаимодействий: поворотные оси 2-го порядка, перпендикулярные плоскостям симметрии (m = 2perpen.gif (66 bytes) m) на уровнях центров инверсии. Взаимодействие полученных осей 2 с координатными трансляциями обусловит их чередование с осями 21 в соответствующих направлениях. Аналогичный результат (оси 2 и 21) можно получить, рассмотрев взаимодействия исходных координатных осей 2 пространственной группы с дополнительными векторами гексагональной R-решетки. Например:

2x ' = 21 на высоте ,

2x ' = 2 на высоте (рис. 126 ) и т.д.

RIS127SM.GIF (2916 bytes)

Рис. 127

г) Координатные зеркальные плоскости m, чередующиеся в Р-ячейке с плоскостями b (см. с. 220), будут взаимодействовать и с дополнительными векторами R-решетки. С одной стороны, вектор (рис. 127, а) окажется лежащим в зеркальной плоскости , что заставит эту плоскость одновременно "работать" и как клиноплоскость (обоз-начим ее r' ' ' [29, 30]) со специфическими компонен-тами скольжения, равными и , т.е. направ-ление скольжения этой клиноплоскости совпадет с узловым рядом вдоль телесной диагонали элемен-тарной ячейки:

100 --> --> --> 011 (рис. 127, а). С другой стороны, наличие в данной плоскости узловых рядов иной направленности сделает ее тождественной клиноплоскостям иного характера. Например, указанная зеркальная плоскость будет "работать" и как клиноплоскость r' ' ' ' и r' ' ' ' ' за счет присутствия в ней косых трансляционных векторов и , направленных вдоль узловых рядов: 010 --> --> --> 102 и 010 --> --> --> (рис. 127,а) и т.д. соответственно.

Взаимодействия все той же зеркальной плоскости , но уже с трансляционными векторами, не лежащими в ней, а расположенными по отношению к ней косо: 2 и , обусловят ее чередование с клиноплоскостями иного характера - r' и r' ' . Разложив каждый из этих векторов на составляющие: (где , , , - короткая диагональ горизонтального сечения элементарной ячейки) и (где , , ), увидим, что первые две ( и ), дополняя операцию отражения в плоскости m скольжением вдоль двух - горизонтального и вертикального - направлений, превращают ее в клиноплоскость r' и r' ' соответственно, а третья - перпендикулярная - переносит возникшие клиноплоскости на свою середину. Таким образом, плоскость b, чередующаяся с зеркальной, оказывается тождественно равной сразу двум типам клиноплоскостей, трансляционные векторы которых направлены вдоль узловых рядов:

010 --> --> --> 102 и 100 --> --> --> 014 (рис. 127, б).

Следует отметить, что в повседневной кристаллографической практике для получения правильных систем точек конкретных пространственных групп эти плоскости не используются и представляют лишь теоретический интерес, ибо их действия всегда можно заменить действием привычных плоскостей симметрии и соответствующих трансляций. Самостоятельно, отдельно от породивших их элементов симметрии, эти клиноплоскости не существуют. Все это в какой-то степени объясняет отсутствие плоскостей r в перечнях элементов симметрии пространственных групп.

Пространственные группы Р3с1, и

RIS128SM.GIF (3698 bytes)

Рис. 128

Схема построения графика пространственной группы та же, что и симморфной группы : Р3с1 --> --> . Добавив к введенной в начало ячейки поворотной оси 3-го порядка координатную плоскость с, получим график пр. гр. Р3с1, где плоскости с будут чередоваться (см. с. 220) с клиноплоскостями n (рис. 128, а). Введение в начало координат этой группы (а следовательно, и на середины координатных векторов) центра инверсии обусловит появление горизонтальных осей 2-го порядка на высоте за счет присутствия вертикальной составляющей плоскостей с (= m . ). В результате получим график пр. гр. (рис. 128, б).

Взаимодействие симметрических операций этой пространственной группы с дополнительными трансляционными векторами R-решетки - и - обусловит появление дополнительных винтовых осей 31 и 32, центров инверсии и горизонтальных осей 2-го порядка. Особое внимание при постройке графика пространственной группы следует обратить на высоты осей 2-го порядка. По сравнению с пр. гр. , где оси 2 располагаются на уровнях центров инверсии, в группе каждая из них приподнята на половину вертикальной трансляционной компоненты плоскости c, т.е. на . В результате, если центр инверсии расположен на нулевом уровне, то соответствующая ему ось 2 () окажется на высоте (0+1/4 = 1/4); если центр инверсии будет на высоте , то ось 2 окажется на высоте (1/6+1/4=5/12); если центр инверсии имеет высоту , то ось 2 будет на высоте (1/3 + 1/4 = 7/12), а следовательно, и на высоте (рис. 128, в). Кроме того, если в пр. гр. начало координат выбирается однозначно в самой высокосимметричной позиции , то в пр. гр. есть две инвариантные позиции с одинаковой величиной симметрии (равной 6): и 32. Это делает возможным выбор начала координат в любой из них. И хотя предпочтение в Интернациональных таблицах отдано реальному центру инверсии, т.е. позиции , часто при описании той или иной кристаллической структуры (например, структуры кальцита CaCO3, см. с. 332 ) начало координат выбирают на пересечении осей - в позиции 32.

<<назад

вперед>>

 


 См. также
НовостиЗавершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии"
Аннотации книгКаталог научной литературы издательства "ГЕОС" на 2007-2010 годы
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава:
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли.
Научные статьиПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.
Научные статьиМеханизм формирования структуры системы Земли. О роли стационарных энергетических центров в сохранении динамического равновесия системы Земли.:

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ
   
TopList Rambler's Top100