Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Геохимические науки >> Кристаллография | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение

Теория симметрии кристаллов

Авторы: Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
( Под редакцией В.С.Урусова)

Содержание

IX.6.2. Вывод шубниковских групп симметрии класса С2v

ris164sm.gif (6180 bytes)

Рис. 164

Проиллюстрируем принцип вывода шубниковских групп симметрии на примере групп, подчиненных точечной группе mm2 (С2v).

1. Выпишем 10 примитивных классических (полярных) федоровских групп симметрии: Pmm2, Pnn2, Pcc2, Pba2, Pmn21 , Pmc21 , Pma2, Pnc2, Pna21 , Pca21 (табл. 7).

2. Добавив к каждой из них операцию антитождества (1' ), получим 10 нейтральных (серых) групп антисимметрии: Pmm2 .1', Pmn21 . 1', .... и т.д.

3. Рассмотрим группы ромбической сингонии с цветными Р-решетками: P's = P'a = P'b = P'c , P'A = P'B = P'C , P'I . Поскольку в группах класса С2v горизонтальные и вертикальные направления топологически различны, то цветная центрировка вертикальных ребер или граней элементарной ячейки отличается от центрировки горизонтальных: P'a= P'b neravno.gif (59 bytes) P'c , P'A = P'B neravno.gif (59 bytes) P'C . Легко выписать по 10 соответствующих шубниковских групп антисимметрии с решетками Р'c , P'C и P'I , в которых цветные трансляции одинаково расположены по отношению к исходным плоскостям 1-й и 2-й позиций символа ( табл. 7).

RIS165SM.GIF (1929 bytes)

Рис. 165

Не следует забывать, однако, что присутствие дополнительных цветных векторов (в данном случае , , ) автоматически приводит к возникновению новых цветных элементов симметрии. В группах с решеткой Р'с возникшие цветные элементы симметрии совпадают (оказываются тождественно равными) с исходными классическими: mx. --> c'x , т.е. m tojd.gif (53 bytes)c', так же как n tojd.gif (53 bytes) b'(a'), c tojd.gif (53 bytes) m', b tojd.gif (53 bytes) n', a tojd.gif (53 bytes) n'. В группах с решетками P'C и P'I цветная трансляция , косо расположенная к исходным элементам симметрии, обусловливает их чередование с элементами антисимметрии, что видно из развернутых записей групп: P'C nc2 = P'C n(c')c(n')2(2') и P'I ma2 = P'I m(n')a(c')2(2') (см. цветную вставку, рис. 164).

При выводе Р-групп с цветной центрировкой горизонтальных ребер (a или b) или вертикальных граней (А или В) следует рассмотреть два варианта.

ris166sm.gif (3955 bytes)

Рис. 166

1-й вариант. Если плоскости 1-й и 2-й позиций символа одинаковы, т.е. без скольжения или с одинаковым скольжением (P'amm2, P'acc2, P'ann2, P'aba2), то безразлично в какой из них лежит центрирующий цветной вектор , т.е. P'a = P'b (рис. 165, а). Однако при этом сами плоскости становятся топологически различными по отношению к вектору (вектор лежит в одной плоскости, но перпендикулярен другой). Цветная трансляция, параллельная исходным плоскостям классической симметрии, обусловливает их тождественность с возникающими плоскостями антисимметрии: m tojd.gif (53 bytes) b', n tojd.gif (53 bytes) c', b(a) tojd.gif (53 bytes) m', c tojd.gif (53 bytes) n', тогда как перпендикулярная - их чередование: m(m'), n(n'), c(c'), b(b'). В развернутом виде символы данных групп будут следующими:

P'amm2 (= P'bmm2) = P'am(m') m tojd.gif (53 bytes) a' 2(2'),

P'ann2 (= P'bnn2) = P'an(n') n tojd.gif (53 bytes) c' 2(2'),

P'acc2 (= P'bcc2) = P'ac(c') c tojd.gif (53 bytes) n' 2(2'),

P'aba2 (= P'bba2) = P'ab(b') a tojd.gif (53 bytes) m' 2(2') (см. рис. 164).

ris167.gif (4351 bytes)

Рис. 167

2-й вариант. Если плоскости 1-й и 2-й позиций символа разные, то небезразлично, вдоль какого из ребер элементарной ячейки направлена цветная трансляция , т.е. в данном случае P'a neravno.gif (59 bytes) P'b (см. рис. 165, б), ибо параллельна одной плоскости и перпендикулярна другой. В результате двух вариантов <зацвечивания> решеток появятся два типа групп антисимметрии. Например, P'amc21 (= P'bcm21) neravno.gif (59 bytes) P'bmc21 (= P'acm21) (см. рис. 164). Всего групп антисимметрии с центрированным ребром (групп P's) окажется 26: 10 с цветной решеткой Pc' и 16 с решеткой P'a (P'b).

Аналогичные рассуждения приведут к 10 группам с цветной базоцентрированной ячейкой P'C и к 16 (4+6 . 2) бокоцентрированным группам с решеткой P'A , для которых небезразлично, какой из граней ячейки параллельна центрирующая трансляция :

4 - P'A mm2, P'A nn2, P'A cc2, P'A ba2,

12 - P'A mn21 (=P'Bnm21), P'A mc21 (=P'Bcm21), .... и т.д.,

P'A nm21 (=P'B mn21), P'A cm21(= P'B mc21) (см. табл. 7).

Не следует забывать и о результатах взаимодействий цветной трансляции с порождающими элементами симметрии, т.е. о существовании в этих группах тождественно равных исходным или чередующихся с ними элементах антисимметрии (см. цветную вставку, рис. 166).

Для того чтобы вывести группы антисимметрии ромбической гемиэдрии с классической P-решеткой, необходимо рассмотреть возможности <зацвечивания> подрешеточных элементов симметрии. При этом каждой из четырех групп с одинаковыми порождающими плоскостями симметрии (см. табл. 7) будут соответствовать 2 группы: с одной или двумя плоскостями антисимметрии, например Pb'a2'(=Pba' 2') и Pb'a' 2 (рис. 166), а каждой из оставшихся шести групп с различными порождающими элементами симметрии (см. табл. 7) - по 3 группы антисимметрии, например Pna21 --> Pn'a21', Pna' 21', Pn'a' 21 (см. цветную вставку, рис. 167).

В результате проведенного <зацвечивания> получили 26 групп антисимметрии с P-решеткой, изоморфных точечной группе Рmm2, т.е. всего 108 шубниковских групп: 10 классических (полярных), 10 нейтральных (серых), 62 группы с цветной решеткой, 26 с простой решеткой, но с цветными элементами симметрии.

Переходя к семейству групп с решетками C, A и B, следует иметь в виду, что если для групп классов D2 и D2h безразлично, какая пара граней зацентрирована, то для групп класса C2v различают базо- (C) и бокоцентрированные (A,B) решетки, обслуживающие 7 федоровских групп: Cmm2, Cmc21 , Ccc2 и Amm2, Ama2, Abm2, Aba2 (табл. 8). Добавив операцию антитождества (1'), соответственно получим 7 нейтральных (серых) групп антисимметрии: Cmm2 . 1', Cmc21 . 1',... и т.д.(табл. 8).

Перечислив все решетки с цветной центрировкой для базоцентрированной ячейки - C'a,b , C'c,I , C'A,B , следует обратить внимание на то, что цветная центрировка одного типа приводит за счет взаимодействия с классическим вектором к автоматической центрировке другого типа. Отсюда для групп класса C2v каждая из перечисленных цветных решеток будет обслуживать лишь по 3 группы антисимметрии (табл. 8):

ris168sm.gif (2435 bytes)

Рис. 168

С'c,I mm2, C'c,I mc21(= C'c,I cm21), C'c,I cc2;

C'a,bmm2, C'a,bmc21 (= C'a,bmc21), C'a,bcc2;

C'A,B mm2, C'A,B mc21 (= C'A,B cm21), C'A,B cc2.

В каждой из перечисленных групп с цветной решеткой C' в результате взаимодействия цветной трансляции с классическими элементами симметрии возникнут элементы антисимметрии. Например: C'a,b mc21 = C'a,b m tojd.gif (53 bytes)b' (b tojd.gif (53 bytes) m')c tojd.gif (53 bytes) n'(n tojd.gif (53 bytes)c' ) 21 (21' ) (см. цветную вставку, рис. 168).

Каждая из бокоцентрированных решеток - A'b,c , A'a,I и A'B,C - даст по 4 группы антисимметрии (табл. 8). Например (рис. 168):

Трем федоровским группам с I-решеткой - Imm2, Ima2 и Iba2 - соответствуют 3 нейтральные группы.

ris169sm.gif (3746 bytes)

Рис. 169

Поскольку цветная центрировка какого-либо ребра влечет за собой центрировку перпендикулярной этому ребру грани (вектор), то нет необходимости отдельно рассматривать центрировку граней ячейки. Три возможных варианта - I'b,B , I'a,A и I'c,C - реализуются лишь в двух семействах гемиморфных групп антисимметрии, подчиненных классу C2v:

I семейство - I'c,C mm2, I'c,C ma2(=I'c,C bm2), I'c,C ba2;

II семейство - I'a,A mm2, I'a,Ama2, I'a,A bm2, I'a,A ba2.

Разное количество групп в этих семействах связано с различным расположением порождающих разнородных плоскостей симметрии по отношению к цветным векторам: и .

Наиболее прост вывод групп антисимметрии с F-решеткой, поскольку двум федоровским группам - Fmm2 и Fdd2 - соответствуют две серые и такое же количество групп с единственной цветной решеткой - F'smm2 и F'sdd2. Действительно, взаимодействие чередующихся и тождественных между собой элементов симметрии (m tojd.gif (53 bytes)n(c tojd.gif (53 bytes)b)) с цветными трансляциями F-группы приведет на обеих позициях символа к m tojd.gif (53 bytes) n tojd.gif (53 bytes) c' tojd.gif (53 bytes) b'(c tojd.gif (53 bytes) b tojd.gif (53 bytes) n' tojd.gif (53 bytes) m') (см. цветную вставку, рис. 169). В результате для класса C2v получены 12 полярных непримитивных групп, 12 нейтральных и 30 групп антисимметрии с цветными решетками. Остальные 30 групп, не содержащих антипереносов (цветных трансляций), легко вывести, <зацвечивая> порождающие элементы симметрии (см. табл. 8).

<<назад

вперед>>


 См. также
НовостиЗавершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии"
Аннотации книгКаталог научной литературы издательства "ГЕОС" на 2007-2010 годы
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава:
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли.
Научные статьиПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.
Научные статьиМеханизм формирования структуры системы Земли. О роли стационарных энергетических центров в сохранении динамического равновесия системы Земли.:

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ
   
TopList Rambler's Top100