Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Геохимические науки >> Кристаллография | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение

Теория симметрии кристаллов

Авторы: Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
( Под редакцией В.С.Урусова)

Содержание

XII.2. Преобразование индексов плоскостей - индексов узловых сеток - и граней кристаллов

RIS210SM.GIF (3071 bytes)

Рис. 210

При переходе от одной координатной системы к другой, естественно, меняются отрезки, отсекаемые какой-либо системой атомных плоскостей на координатных осях, а следовательно, и символы этих плоскостей. Для выявления характера изменения индексов некоторой узловой сетки (hkl), рассчитанных в исходном координатном репере (X,Y,Z) ограничимся двухмерным случаем (рис. 210). В качестве примера возьмем систему плоских узловых сеток (hk0), разбивающих сторону а элементарного параллелограмма на 4 части и сторону b - на три части. Абсолютные величины отрезков (параметров), отсекаемых ближайшей к началу координат сеткой (hk0) на осях X и Y, будут соответственно равны p = и q =. Отсюда индексы h и k такой ближайшей к началу координат сетки будут соответственно равны 4 и 3: (430), где h = = 4 и k = = 3. Обратим внимание на то, что речь идет не о символе грани, где индексы могут быть сокращены на общий множитель, а о символе конкретной узловой сетки, где такое сокращение невозможно.

Для вычисления новых индексов (HKL) этой плоскости в новой системе координат (X' , Y' , Z' ) следует определить, на сколько частей разбивает система узловых плоскостей единичные отрезки , и вдоль новых координатных осей. Из рис. 210 видно, что единичные векторы , вдоль новых осей X' , Y' есть векторные суммы единичных векторов вдоль старых осей:

Оказывается, что число отрезков, на которые рассечен вектор рассматриваемой системой плоскостей со старым символом (430), равно сумме числа разбиений векторов и , т.е. равно 2. 4+1. 3 = = 11, так же как число разбиений вектора равно 2. 4+3. 3 = 17. Таким образом, числа 11 и 17 не что иное, как новые индексы H и K рассматриваемой системы плоскостей, соответствующие новым осям X' и Y' :

H = 2 . 4 + 1 . 3 = 11, K = 2 . 4 + 3 . 3 = 17.

Как видим, каждая из новых векторных единиц разбита на количество отрезков, равное сумме разбиений его проекций по осям X и Y исходного координатного репера.

В общем случае в новой системе координат единичный вектор , следовательно, индекс Н = uAh + vAk, а так как , то К = uBh + vBk.

Таким образом, для трехмерного случая

Отсюда преобразование индексов плоскостей запишется системой уравнений с коэффициентами, полученными для преобразования параметров решетки:

Н = uAh + vAk + wAl,

K = uBh + vBk+ wBl, (6)

L = uCh + vCk + wCl

и соответствующей матрицей: .

Обратим внимание на то, что матрица преобразования индексов плоскости (узловой сетки, грани) совпадает с матрицей (1) преобразования координатных осей, т.е. преобразование символов граней тоже отвечает ковариантному закону:

и

Таким образом, при переходе к новому координатному реперу можно легко вычислить и новые индексы любой плоскости (hkl), придав конкретные цифровые значения коэффициентам u, v, w матрицы преобразования осей (2).

Иногда вследствие неоднозначного выбора координатной системы одним и тем же граням какого-либо кристалла разными авторами приписываются различные символы. В этом случае задачу преобразования символа любой узловой плоскости (грани) в одной координатной системе к символу этой же плоскости (грани) в другой системе легко решить, найдя матрицу преобразования (М) от одной координатной системы к другой. Для этого следует подставить частные значения индексов (H,K,L в одной координатной системе и h,k,l - в другой) ограниченного числа плоскостей в систему уравнений (6) и решить их относительно коэффициентов u,v,w.

Например, пусть символы (hkl) трех плоскостей (граней I, II и III) в старом координатном репере: (110), (210) и (001) приобрели в новой системе координат значения (HKL) соответственно (230), (340) и (001) [22]. Значения коэффициентов u, v, w легко вычислить, решив систему уравнений (6). Подставив значения индексов (h,k,l) в уравнение               H = uA . h + vA . k + wA . l для всех трех исходных граней (I, II, III), получим:

для плоскости I HI = uA . 1 + vA . 1 + wA . 0 = 2 ; uA + vA = 2,

для плоскости II HII = uA . 2 + vA . 1 + wA . 0 = 3 ; 2uA + vA = 3,

для плоскости III HIII = uA . 0 + vA . 0 + wA . 1 = 0 ; wA = 0.

Откуда найдем значения uA = 1, vA = 1, wA = 0.

Для того чтобы найти коэффициенты uB ,vB ,wB, подставим зна-чения индексов (h,k,l) во второе уравнение (6): K = uB . h + vB . k + wB . l:

для плоскости I KI = uB . 1 + vB . 1 + wB . 0 = 3 ; uB + vB = 3,

для плоскости II KII = uB . 2 + vB . 1 + wB . 0 = 4 ; 2uB + vB = 4,

для плоскости III KIII = uB . 0 + vB . 0 + wB . 1 = 0 ; wB = 0,

откуда uB = 1, vB = 2, wB = 0.

Решение 3-й системы уравнений (6): L = uC . h + vC . k + wC . l:

для плоскости I LI = uC . 1 + vC . 1 + wC . 0 = 0 ; uC + vC = 0,

для плоскости II LII = uC . 2 + vC . 1 + wC . 0 = 0 ; 2uC + vC = 0,

для плоскости III LIII = uC . 0 + vC . 0 + wC . 1 = 1 ; wC = 1,

даст значения uC = 0, vC = 0, wC = 1.

Записав найденные значения u, v, w в виде таблицы, получим искомую матрицу преобразования символов граней:

Элементы такой матрицы, будучи подставлены в качестве коэффициентов в уравнения (6), дадут общий закон, определяющий преобразование индексов любых плоскостей, атомных сеток или граней какого-либо кристалла при заданном преобразовании координатных осей:

<<назад

вперед>>


 См. также
НовостиЗавершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии"
Аннотации книгКаталог научной литературы издательства "ГЕОС" на 2007-2010 годы
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава:
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли.
Научные статьиПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.
Научные статьиМеханизм формирования структуры системы Земли. О роли стационарных энергетических центров в сохранении динамического равновесия системы Земли.:

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ
   
TopList Rambler's Top100