Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Геохимические науки >> Кристаллография | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение

Теория симметрии кристаллов

Авторы: Ю.К.Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
( Под редакцией В.С.Урусова)

Содержание

Приложение

Международные обозначения групп симметрии - символика Германа - Могена

Международный символ групп симметрии - символ Германа- Могена - состоит как минимум из трех позиций, на которых фиксированы обозначения неэквивалентных особых направлений: осей симметрии (поворотных и инверсионных) и нормалей к плоскостям симметрии.

Поворотные оси симметрии регистирируют соответствующи-ми их порядку арабскими цифрами (L4 = 4, L1 = 1). При обозначении инверсионной оси над цифрой ставится черточка ( 3 = читается "три с чертой", 4= ); в случае зеркальной оси - кружок ( 3 = - читается "три зеркальная", 2 = ). Однако в стандартных символах используются только инверсионные оси. Вместо инверсионной оси в символе записывается совпадающая с ней нормаль к плоскости симметрии - m (англ. mirror - зеркало).

Если ось симметрии (n) совпадает с нормалью к плоскости (m), то они фиксируются на одной позиции символа в виде дроби , где в числителе - обозначение оси симметрии, а в знаменателе - нормали к плоскости (например, L3P^ =, L2PC = ). Однако, если ось является порожденной другими элементами симметрии, записанными в символе, ее, как правило, опускают, оставляя лишь букву m. Нельзя опустить лишь обозначение главной оси в группах средней категории, указывающей на принадлежность группы к той или иной сингонии

(3L23PC = = mmm, L44L25PC =, L2PC = ).

Символы групп низшей категории

Поскольку в группах ромбической системы все три особые направления неэквивалентны и служат координатными осями X, Y и Z, каждое из них регистрируется на определенной позиции символа:

на 1-й позиции - особое направление вдоль оси Х,

на 2-й позиции - особое направление вдоль оси У,

на 3-й позиции - особое направление вдоль оси Z. Например, символ mm2 (= L22P) указывает на то, что вертикальная ось Z выбрана вдоль поворотной оси 2-го порядка. Очевидно, что символы m2m и 2mm указывают на нестандартную установку ромбической группы симметрии: в первом случае поворотная ось направлена вдоль оси Y, во втором - вдоль оси Х.

 

Группы моноклинной системы характеризуются единственным особым направлением, которое и фиксируется на одной из позиций символа. Чтобы показать, с какой из координатных осей связано единственное особое направление, можно на не занятые особыми направлениями позиции символа поставить единицы - оси 1-го порядка (L2 = 2 = 211 = 112 = 121).

В группах триклинной системы особые направления отсутствуют. Поэтому в символе записывают лишь ось 1-го порядка - поворотную или инверсионную ( L1= 1, 1 = С = ).

Символы групп симметрии средней категории

Обязательной принадлежностью групп симметрии средней категории тетрагональной и гексагональной сингоний является единственная ось высшего порядка, вдоль которой обычно выбирают координатную ось Z. Именно это главное особое направление и записывается на 1-й позиции международного символа. На 2-й позиции фиксируются эквивалентные особые направления вдоль горизонтальных координатных осей X = Y (= U); на 3-й позиции - особое направление, расположенное под углом alfa.GIF (67 bytes) /2 к побочным координатным особым направлениям (где alfa.GIF (67 bytes) - элементарный угол поворота, заданный главной осью, фиксированной на 1-й позиции символа). Элементы симметрии, представленные этим особым направлением, - результат взаимодействия элементов симметрии 1-й и 2-й позиций символа. Если a /2 = 45o (главная ось 4 или ), то направление 3-й позиции называют диагональным, при alfa.GIF (67 bytes) /2 = 30o (ось 6 или ) - апофемальным.

Для осей 3 и апофемальное направление (alfa.GIF (67 bytes) /2 = 60o ) совпадает с координатным U. Таким образом, охарактеризовав в символе одно из координатных (X, Y или U), автоматически характеризуем и апофемальное направление. В этом случае 3-я позиция символа не заполняется (например, L33P = 3m, но L44L2 = 422, в последней группе координатные и диагональные особые направления - оси 2-го порядка - неэквивалентны, поэтому каждая из них регистрируется на соответствующей позиции символа).

Напомним, что, поскольку координатные оси X и Y в точечных группах средней категории предпочитают выбирать вдоль поворотных осей 2-го порядка, стандартным символом класса 42L22P будет , при этом нормали к плоскостям симметрии окажутся на 3-й, диагональной позиции символа. Однако в группах гексагональной сингонии при выборе координатных направлений предпочтение оказывают нормалям к плоскостям симметрии (m). Поэтому "официальным" символом точечной группы L33L23PvPh = = 6 3L23P будет , а не .

Символы групп симметрии высшей категории

В группах кубической сингонии все три координатные особые направления эквивалентны (Х = Y = Z). Поэтому они в международном символе фиксируются на одной - первой - позиции. Диагональные особые направления, проходящие по биссектрисам углов между координатными осями, регистрируют на 3-й позиции. На 2-й позиции символа записывают цифру "3", символизирующую обязательную для всех групп кубической сингонии четверку осей 3-го порядка (3L44L36L2 = 432, 3L44L36L23Pк6PdC = ).

Итак, в международных символах фиксируют в основном порождающие элементы симметрии, предпочитая в качестве таковых плоскости симметрии. Если инверсионная ось имеет бо? льшую величину симметрии (т.е. обладает большей размножающей способностью), чем совпадающая с ней ее поворотная составляющая, то в символе регистрируется именно инверсионная ось (например, вместо записывают , вместо - и вместо m3m - ). При одинаковой размножающей способности совпадающих поворотной и инверсионной осей в символе фиксируется поворотная ось (, а не ).

Международные символы пространственных групп симметрии в отличие от символов точечных групп сопровождаются буквой, указывающей на тип решетки Браве (Р - примитивный, С(А,В) - базо - или бокоцентрированный, I - объемноцентрированный, F - гранецентрированный). Кроме того, в качестве подрешеточных элементов симметрии на позициях символа могут появиться кроме макроэлементов симметрии - зеркальных плоскостей, поворотных осей и центра инверсии - и трансляционные элементы симметрии: плоскости скользящего отражения и винтовые оси - элементы микросимметрии.

Обозначения групп симметрии Шенфлиса

Символика точечных групп симметрии, предложенная немецким математиком А. Шенфлисом, позволяет одной буквой с соответствующим нижним индексом не только охарактеризовать весь набор элементов симметрии конкретной точечной группы, но и объединить родственные группы в отдельные семейства.

 

Циклические группы - группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, - обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси (например, С4 = L4 , C1 = L1)).

Группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i, например С3i = 3, Ci = 1. Если же инверсионной оси предпочитают ее зеркальный эквивалент, то группа с такими осями обозначается Sn (от нем. spiegelaxe - зеркальная ось), например S6 = C3i , S4 = C4i; при этом цифровой индекс n всегда отвечает порядку сложной оси.

 

Группы симметрии с побочными - перпендикулярными главному направлению - осями 2-го порядка обозначаются Dn, где нижний индекс n соответствует не только порядку главной поворотной оси, но и количеству побочных осей 2-го порядка (например, D3 = L33L2 , D2 = 3L2 , в последней группе любая из осей L2 может играть роль главной, две другие, перпендикулярные ей, при этом окажутся побочными).

Для обозначения зеркальных плоскостей симметрии Шенфлис ввел дополнительные подстрочные буквенные индексы:

v (от нем. vertical - вертикальный) - для плоскостей, расположенных вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной 1 (L33P = C3v);

 

h (от нем. horisontal - горизонтальный) - для плоскости, перпендикулярной к главной оси симметрии (L2PC = C2h);

 

s (от нем. spiegel - зеркало) - для плоскости неопределенной ориентации, т.е. не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии (Р = Cs (= Pv = Ph));

 

d - для вертикальных плоскостей симметрии, делящих пополам угол между побочными осями 2-го порядка (D3d = L33L23PC, D2d = = 4(4)2L22Pd; в последней группе нижний цифровой индекс n = 2 соответствует поворотной составляющей сложных осей 4 = 4).

Если же вертикальные плоскости симметрии проходят через побочные (горизонтальные) оси 2-го порядка, неизбежно возникает четко фиксированная по отношению к главной оси горизонтальная плоскость h, которой и отдается предпочтение в символе Шенфлиса (D3h = L33L23PvPh). Индекс v в группах Dn оказывается неоднозначным.

 

Группы симметрии с несколькими осями высшего порядка - группы кубической сингонии - обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии (3L44L36L2 - осевой комплекс октаэдра или куба), или буквой Т - если в группе отсутствуют диагональные оси симметрии (3L24L3 - поворотные составляющие осевого комплекса тетраэдра).

Наличие в группе координатных или диагональных плоскостей симметрии фиксируется в символе Шенфлиса соответственно буквами h (среди координатных плоскостей всегда присутствует горизонтальная h) или d. Если в группе имеются оба типа плоскостей, то в символе фиксируются лишь координатные h (3L24L33PкC = Th , 3 4 4L36Pd = Td , 3L44L36L23Pк6PdC = Oh).

В обозначениях пространственных групп симметрии появляются вверхние цифровые индексы, отражающие ту последовательность, в которой А.Шенфлис выводил пространственные группы. И поскольку иной смысловой нагрузки эти индексы не несут, в этом качестве они оказываются недостаточно информа-тивны (например, = Pbam, = Pccn, = Pbcm). Однако, поскольку международные символы пространственных групп могут видоизменяться с преобразованием координатной системы (например, Сmc21 = A21ma), необходимо их сопровождать символом Шенфлиса, не учитывающим ориентацию пространственной группы относительно выбранной координатной системы (A21ma = ) и однозначно указывающим на определенную пространственную группу.

Cписок 230 пространственных (федоровских) групп симметрии

pril-1.gif (9357 bytes)

pril-2.gif (3563 bytes)

pril-3.gif (7605 bytes)

pril-4.gif (4913 bytes)

pril-5.gif (7361 bytes)

pril-15.gif (402 bytes)

pril-6.gif (3984 bytes)

pril-7.gif (7765 bytes)

pril-8.gif (4824 bytes)

pril-9.gif (8008 bytes)

pril-10.gif (4599 bytes)

pril-11.gif (7399 bytes)

pril-12.gif (5075 bytes)

pril-13.gif (7873 bytes)

pril-14.gif (4367 bytes)

<<назад

вперед>>


 См. также
НовостиЗавершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии"
Аннотации книгКаталог научной литературы издательства "ГЕОС" на 2007-2010 годы
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава:
ДиссертацииИзучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли.
Научные статьиПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.
Научные статьиМеханизм формирования структуры системы Земли. О роли стационарных энергетических центров в сохранении динамического равновесия системы Земли.:

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ
   
TopList Rambler's Top100